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格林定理说明区域V中的场与边界S上的场之间的关系,因此,利用格林定理可以将区域场中的求解问题转变为边界上场的问题求解。此外,格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。因此,如果已知其中一种场的分布特性,即可利用格林定理求解另一种场的分布特性。
矢量场的唯一性定理:位于某一区域中的场,当其散度、旋度以及边界上场量的切向分量或法向分量给定后,则该区域中的矢量场被唯一地确定。根据亥姆霍兹定理,无限空间中矢量场被其散度及旋度唯一地确定。有限空间中的矢量场被其散度、旋度及其边界条件唯一地确定。若该有限区域是无源的,则场仅决定于边界条件。
梯度场是无旋场,旋度场是无散场。任一矢量场均可表示为一个无旋场与无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的首要问题。无旋也无散的矢量场在无限空间是不存在的,它只能存在于局部的无源区域之中。